演算法筆記:遞迴(Recursion)

遞回函式(recursive function)簡單來說就是在一個函式當中再去呼叫它自己,其中一個實際的範例就是費氏數列。

費波那契數列

所謂費波那契數列,是指在一串數字中,每一項是前兩項的和。數學上的定義為:

  • 第 0 項 = 0
  • 第 1 項 = 1
  • 第 n 項 = 第 n-1 項 + 第 n-2 項

從上面的數學定義,我們可以簡單列出數列的 0 到 10 項為:0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55。

function fibo(n) {
  if (n === 0) {
    return 0;
  } else if (n === 1) {
    return 1;
  } 
  return fibo(n-1) + fibo(n-2)
}

fibo(5)
fibo(5) 畫成樹狀圖

從上面的圖可以觀察到,每一次函式往下的呼叫,最後都會停在 F(1) 或 F(0),因為這兩項是唯一在計算費波那契數列時唯一先被定義的,F(1) & F(0) 這就是費氏數列遞迴的 Base case,也就是停止的時機。因此找到這兩項後,就可以開始往前加總出其他項的值,而往前加總的順序如下:

先執行樹根的左邊才會執行右邊

費氏數列的時間與空間複雜度

最簡單理解時間複雜度的方法就是直接使用觀察法。從上面的圖我們可以看到,每往下一層,每一項需要呼叫的次數就變成 2 倍,像 F(5) 要呼叫 F(4) + F(3) 、F(3) 要呼叫 F(2) + F(1) 等等。

而要找到數列的第 5 個數,我們需要的層數是剛好是 5 層,而推展到第 n 個數時,我們剛好需要 n 層。這個部分如果有點抽象的話,可以直接觀察上面的例子,圖中每一層的最左邊那項,是從 F(n) 一路遞減到 F(1),這樣剛剛好會是 n 層。

整理上面兩段如下,我們就可以求出最後時間複雜度約等於為 O(2^n)。

  • 每往下一層,步驟數變 2 倍
  • 總共有 n 層 (空間複雜度 O(n))
  • 時間複雜度:O(2^n)
註:有些讀者可能會有疑問,觀察上面的圖,並不是每個數都會呼叫到 n 層,越往圖的右邊呼叫的層數越少。經過神秘的數學運算,最後時間複雜度其實是 1.6180339887^n (那一串數字是大名鼎鼎的黃金比例),但簡單起見,我們比較常用 O(2^n) 去理解。

觀念:先進先出與使用遞迴的時間

之所以能夠透過遞回函式,是因為函式堆疊(stack)在執行時有一個特性,當某個函式呼叫另一個函式時,需要等到裡面的函式執行完產生結果後,才會繼續回來執行自己的函式內容,而這樣的情況也被稱作 後進先出(Last in First Out, LIFO)

事實上遞迴的時間複雜度相當高,並不會實際使用在計算中,需要搭配動態運算等方法把已經計算過的數值記錄下來,優化計算時間,這部分下篇筆記會說明。

參考資料:
1. https://medium.com/appworks-school/%E5%88%9D%E5%AD%B8%E8%80%85%E5%AD%B8%E6%BC%94%E7%AE%97%E6%B3%95-%E5%BE%9E%E8%B2%BB%E6%B0%8F%E6%95%B8%E5%88%97%E8%AA%8D%E8%AD%98%E4%BD%95%E8%AC%82%E9%81%9E%E8%BF%B4-dea15d2808a3
2. https://pjchender.blogspot.com/2017/09/recursive-function-recursion.html

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